Mai Anh
Chuyên đề về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức toán học vô cùng quan trọng đối với các bạn học sinh nó được ứng dụng xuyên suốt trong quá trình học toán. Chính vì vậy bạn cần phải hiểu và nắm được bản chất. Để hiểu hơn hãy cùng Phongreviews tìm hiểu trong bài viết dưới đây.
Bài tập có lời giải chi tiết
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
BÀI 1: Hãy tính giá trị của biểu thức: x2 + 8x + 16 tại x = 2
Giải
Ta có: A = x2 + 8x + 16 = A = x2 + 2.4.x + 42 = (x – 4)2
Tại x = 2 ta có A = (2 – 4)2 = 4
Vậy A(2) = 4
BÀI 2: Hãy tính giá trị của biểu thức: 4×2 +20x + 25 tại x = -1
Giải
Ta có: A = 4×2 +20x + 25 = A = 2×2 + 2.2.5.x + 52 = (2x – 5)2
Tại x = -1 ta có A = (-2 – 5)2 = 49
Vậy A(-1) = 49
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
BÀI 1: Bạn hãy chứng minh đẳng thức: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + 2b2)
Vế trái = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b2
= 2b(3a2b + b2) điều phải chứng minh.
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức
Ta có thể biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức sau A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Tiếp đến dùng phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức mà bạn cần phải tính.
BÀI TẬP: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2 – x)(x – 4) – 2
* Lời giải:
Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1. Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x.
Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
BÀI 1: A = x2 – 4x + 7
Giải
Ta có: C = x2 – 4x + 7 = (x2 – 2.2.x + 4) + 3 = (x – 2)2 + 3
Ta luôn có: (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x
Suy ra ta có: (x – 2)2 + 3 ≥ 3 với mọi x
Hay A ≥ 3 với mọi x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x – 2 = 0 hay x = 2
Nên A có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x = 2
BÀI 2: C = x2 + 9y2 + 6x – 6y + 5
= (x2 + 2.x.3 + 9) + (9y2 – 2.3y.1 + 1) – 5
= (x2 + 3) + (3y2 – 1) – 5
Mà: (x – 2)2 ≥ 0 ; (3y – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y
(x – 2)2 + (3y – 1)2 ≥ 0 với mọi x, y
Suy ra: (x + 3)2 + (3y -1)2 – 5 ≥ – 5 với mọi x, y
Hay C ≥ – 5 với mọi x, y
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi: x + 3 = 0 và 3y -1 = 0
Suy ra: x = -3 và y = ⅓
Nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -5 khi x = -3 và y = ⅓
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
BÀI 1: a. A = -2×2 + 8x – 15
b. B = -x2 -8x + 5
Bài giải
a. a) Ta có: A = -2×2 + 8x – 15 = -2×2 + 8x – 8 – 7 = -2(x2 – 4x + 4) – 7 = -2(x-2)2 – 7
Vì 2(x-2)2 ≤ 0 nên -2(x-2)2 – 7 ≤ – 7
Khi đó A ≤ – 7
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi: x – 2 = 0 suy ra x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là -7 khi x = 2
b. Ta có: B = -x2 -8x + 5 = B = -x2 -8x – 16 + 21 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21
Vì -(x + 4)2 ≤ 0 nên -(x + 4)2 + 21≤ 21
Khi đó B ≤ 21
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi: x + 4 = 0 suy ra x = -4
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 21 khi x = -4
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
BÀI 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]
= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]
= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]
= (x – 2 – y )( x – 2 + y)
⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
BÀI 2: Phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4×2 + 4x
= x(x2 – 4x + 4)
= x(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
BÀI 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y
= (x 2– x) + (2y – 2xy)
= x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Dạng 7: Tìm giá trị của x
Ví dụ: Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0
* Lời giải.
x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0
⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0
⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0
⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0
⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2
⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2
Bài tập tự luyện
BÀI 1: Tính giá trị của biểu thức sau:
a, x2 – y2 tại x = 65 và y = 8
b, x3 – 3×2 + 3x – 1 tại x = 34
c, x3 + 9×2+ 27x + 27 tại x = 243
BÀI 2: Chứng minh rằng:
a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
BÀI 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a, P = x2 – 4x + 16
b, Q = 2×2 – 8x
c, M = x2+ y2 – x + 8y + 12
BÀI 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a. A=2×2 − 8x + 14
b. x2 + 12y2 + 4x − 4y + 6
BÀI 5: Rút gọn các biểu thức:
a. (2a – 3b + 4c) (2a – 3b – 4c)
b. (3x – 4y + 5z) (3x – 4y – 5z)
c.(3x – 1)2 + 2(9a2 – 1) + (3a + 1)2
d. (3x – 4) – 2(3x – 4) (x – 4) + (4 – x)
BÀI 6: Tìm x, y, z thỏa mãn: x2 + 5x + y2 – 2y + 11 + (3z – 6)2
BÀI 7: Tính:
a, (x – 1)2
b, (3 – y)2
c, (x – 1/2)2
BÀI 8: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a, x2 + 6x + 9
b, x2 + x + 1/4
c,2xy2 + x2y4 + 1
BÀI 9: Rút gọn biểu thức:
a, (x + y)2 + (x – y)2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
BÀI 10: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a, A = 4x – x2 + 3
b, B = x – x2
c, N = 2x – 2×2 – 5
BÀI 11: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a – b)3 = -(b – a)3; b) (- a – b)2 = (a + b)2
BÀI 12: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a. 3×2 + 12x + 72
b. x2 + 4x + 4
c.2xy2 + x2y4 +2
BÀI 13: Rút gọn biểu thức:
a. (a + b)2 + (a – b)2
b. 2(a – b)(a + b) + (a + b)2 + (a – b)2
c. (a – b + c)2 + (c – b)2 + 2(a – b + c)(b – c)
BÀI 14: Chứng tỏ rằng:
a. x2 – 8x + 12 > 0 với mọi x
b. 3x – x2 – 6 < 0 với mọi x
BÀI 15: Khai triển các hằng đẳng thức sau.
a) ( 2x – 2/3)2
b) ( 4x – 5 )2
c) ( ⅔ x – 5 )2
d) ( 6x – 2 )2
e) ( a – 2b)2
f) (3/2 – 2y )2
BÀI 16: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một hiệu
a) x2 – 12x + 24
b) 7×2 – 26x + 49
c) 2×2 – x + 4/5
d) 6×2 – 10x + 25
e) x2 – 4xy + 2y2
f) 6×2 – 4xy + y2
g) 2×2 – 16xy + 8y2
Trên đây là chuyên đề về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đơn giản và dễ hiểu mà đội ngũ nhân viên Phongreviews chúng tôi đã tổng hợp chi tiết. Hy vọng rằng những thông tin ở bài viết mà chúng tôi chia sẻ giúp bạn vận dụng vào làm bài tập một cách nhanh chóng và dễ hơn. Nếu có thắc mắc bạn có thể bình luận phía dưới bài để được giải đáp. Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết này, chúc bạn thành công.
