Mai Anh
Ghi nhớ các hằng đẳng thức là một trong những nội dung rất quan trọng và cần thiết đối với học sinh lớp 7, lớp 8. Trong bài viết hôm nay của Phongreview, các bạn sẽ được tìm hiểu toàn bộ về công thức 7 hằng đẳng thức, hệ quả và các dạng bài tập trình bày có đáp án kèm theo. Thông qua tài liệu này, các em học sinh có thêm gợi ý tham khảo, củng cố kiến thức để hiểu đầy đủ công thức và giải bài toán về hằng đẳng thức.
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Có nhiều hằng đẳng thức khác nhau nhưng phổ biến nhất là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Các công thức và hệ quả cũng như 7 hằng đẳng thức này được phát biểu ra sao, hãy cùng Phongreview tìm hiểu tiếp ở các mục dưới.
Bình phương của một tổng
Định nghĩa: Bình phương của một tổng (A + B)² sẽ bằng với bình phương của số thứ nhất A² cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A + B )2 = A² + 2AB + B² .
Ví dụ: ( a + 4 )²= a²+ 2.a.4 + 4² = a² + 8a + 16.
Bình phương của một hiệu
Định nghĩa: Bình phương của một hiệu (A – B)² sẽ bằng bình phương của số thứ nhất A² trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².
Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: ( A – B )2 = A2 – 2AB + B2.
Ví dụ: (x – 5)2 – x2 – 25 = (x2 + 2.x.5 + 52) – x2 – 25 = – 10x.
Hiệu của hai lập phương
Định nghĩa: Hiệu của hai bình phương của hai số A² – B² sẽ bằng hiệu của hai số đó A – B nhân với tổng của hai số đó A + B.
Hiệu của hai bình phương: A² – B² = ( A – B )( A + B ).
Ví dụ: x² – 9 + 2(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x – 3 + 2) = (x + 3)(x – 1)
Lập phương của một tổng
Định nghĩa: Lập phương của một tổng của hai số (A + B)³ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A³ cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB2, rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai B³.
Lập phương của một tổng: ( A + B )³ = A³ + 3A2B + 3AB² + B³.
Ví dụ: (x + 2)³ = x³ + 3.×2.2 + 3.x.2² + 23 = x³ + 6×2 + 12x + 8
Lập phương của một hiệu
Định nghĩa: Lập phương của một hiệu của hai số (A – B)³ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A3 trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A2B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB², rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai B3.
Lập phương của một hiệu: ( A – B )³ = A³ – 3A2B + 3AB² – B³.
Ví dụ: (x – 2)³ = x³ – 3.x.2.2 + 3.x.2² – 23 = x³ – 6x² + 12x – 8
Tổng hai lập phương
Định nghĩa: Tổng của hai lập phương của hai số A³ + B³ sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai A + B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A² -AB + B².
Ta có công thức: A³ + B³ = ( A + B )( A² – AB + B² ).
Ví dụ: x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² – 3x + 9)
Hiệu hai lập phương
Định nghĩa: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai A – B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A² +AB + B².
Ta có công thức: A³ – B³ = ( A – B )( A² + AB + B² ).
Ví dụ: x³ – 8 = x³ – 23 = (x – 2)(x² + 2x + 4)
Bộ hằng đẳng thức mở rộng
Ngoài những công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trên, người ta đã suy ra được các hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng liên quan sau:
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2
- (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
- (a+b−c)² = a²+b²+c²+2ab−2ac−2bc
- (a−b−c)² = a²+b²+c²−2ab−2ac+2bc
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3
- (a+b+c)³ = a³+b³+c³+3(a+b)(a+c)(b+c)
- A³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
- (a–b)³+(b–c)³+(c–a)³ = 3(a–b)(b–c)(c–a)
- (a+b)(b+c)(c+a)–8abc = a(b–c)²+b(c–a)²+c(a–b)²
- (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc
- (a+b)(b+c)(c+a)–8abc = a(b–c)²+b(c–a)²+c(a–b)²
- (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc
Hằng đẳng thức dạng tổng quát
- An+bn = (a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−an−4b3+…+a2bn−3−a.bn−2+bn−1) (1) với n là số lẻ thuộc tập N
- An–bn = (a–b)(an–1+an–2b+an–3b2+…+a2bn–3+abn–2+bn–1)
Bài tập tự luyện (Có đáp án) về hằng đẳng thức
Để giúp ghi nhớ hiệu quả nhất các hằng đẳng thức, các bạn hãy làm và giải bài tập thật nhiều nhé! Dưới đây, Phongreview cũng sưu tầm một số bài tập cơ bản(Có đáp án)mà bạn có thể tham khảo:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức : A = x² – 6x + 9 tại x = 2
Ta có : A = x² – 6x + 4 = A = x² – 2.x.3 + 2² = (x – 3)²
Tại x = 2 : A = (2 – 3)²=(-1)²= 1
Vậy : A(2) = 1
Bài 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến B = (x – 2)² + (x + 1)(5 – x)
B =(x – 2)² + (x + 1)(5 – x)
= x² – 4x + 4 – x² + 5x + 5 – x
= 9 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x² – 4x + 5
Ta có : C = x² – 4x + 5 = (x² – 2x + 4) + 1 = (x – 2)² + 1
Mà : (x – 2)² ≥ 0 với mọi x.
⇒(x – 2)² + 1 ≥ 1 hay C ≥ 1
Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
Nên : Cmin= 1 khi x = 2
Bài 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = 4x – x²
Ta có : D = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 + x² – 4x) = 4 – (x – 2)²
Mà : -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.
Suy ra : 4 – (x – 2)² ≤ 4 hay D ≤ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
Nên : Dmax= 4 khi x = 2.
Bài 5 : Chứng minh đẳng thức: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)
(a + b)³ – (a – b)³ = (a³ + 3a2b + 3ab² + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab² – b3)
= a³ + 3a2b + 3ab² + b3 – a³ + 3a2b – 3ab² + b³
= 6a2b + 2b³
= 2b(3a² + b²) ->đpcm.
Vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
VD1: E = x² – 6x + 9 – y²
Ta có : E = x² – 6x + 9 – y²
= (x² – 6x + 9) – y2 [nhóm hạng tử]
= (x – 3)² – y² [đẳng thức số 2]
= (x – 3 – y )( x – 3 + y) [đẳng thức số 3]
Vậy : E = (x – 3 – y )( x – 3 + y)
VD2: A = x³– 4x² + 4x
= x(x² – 4x + 4)
= x(x² – 2.2x + 2²)
= x(x – 2)²
Bài 7: Tìm x biết : ( x – 3 )( x²+ 3x + 9 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
Khi đó ta có ( x – 4 )( x² + 4x + 16 ) + x( x + 2 )( 2 – x ) = 0.
⇔ x³ – 4³ + x( 4 – x² ) = 0 ⇔ x³ – 64 + x( 4 – x² ) = 0
⇔ x³ – x³ + 4x – 64 = 0
⇔ 4x – 64 = 0
Vậy x= 16
Chúng tôi hy vọng đây là tài liệu hữu ích giúp các em tổng hợp và vận dụng kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ để làm bài tập tốt hơn. Chúc các bạn học tập thành công và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
BÀI VIẾT LIÊN QUAN KHÁC:
