Mai Anh
Thể tích khối cầu là một trong những kiến thức Toán học quan trọng đối với học sinh đặc biệt là học sinh trung học phổ thông lớp 12. Tuy nhiên nhiều bạn vẫn chưa biết cách tính và tính ra sao. Thì trong bài viết dưới đây chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn cách tính thể tích khối cầu vô cùng đơn giản, nhanh và chính xác nhất.
Định nghĩa mặt cầu là gì? Khối cầu là gì?
Mặt cầu: Có điểm O là tâm cố định trong không gian, tập hợp những điểm A cách O một khoảng không đổi OA được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R=OA
Khối cầu: Tập hợp những điểm nằm trong mặt cầu được gọi là hình cầu hay khối cầu có tâm O và bán kính là R = OA
Tính chất của khối cầu
- Trục đối xứng của hình cầu là bất kỳ đường thẳng nào giao nhau với hình cầu đi qua tâm O của nó. Khi đó, xoay một quả cầu quanh trục ở bất kỳ một góc độ nào cũng sẽ biến nó thành chính nó.
- Mặt phẳng phản xạ là một mặt phẳng được cắt hình được đề cập khi đi qua tâm của nó và chia hình thành hai phần bằng nhau.
- Đọc thêm: Công thức tính chu vi hình tam giác chi tiết và dễ hiểu nhất
Công thức tính thể tích khối cầu
Theo định nghĩa, công thức tính thể tích khối cầu được tính bằng 4/3 pi nhân với lập phương của hình cầu.
Như vậy để tích thể tích khối cầu thay vào đó nên tìm bán kính hoặc đường kính của hình cầu. Sau đó áp dụng công thức V = 4/3πr³ để tính.
Trong đó:
V: Là thể tích khối cầu được tính bằng đơn vị m3
π: Là số pi, có đơn vị xấp xỉ 3,1415
r: Là bán kính của khối cầu
d: Bán kính của mặt cầu hoặc hình cầu
Hướng dẫn cách tính thể tích khối cầu
Khi làm các bài toán về thể tích hình cầu nhiều học sinh cảm thấy khá lo lắng khi chưa hiểu rõ cách tính này. Qua bài viết dưới đây chúng tôi sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính thể tích khối cầu dễ hiểu và nhanh chóng nhất.
Bước 1: Viết công thức tính thể tích khối cầu ra giấy
Đầu tiên hãy viết ra giấy công thức tính thể tích của khối cầu như sau: V= 4/3πr³
Bước 2: Đọc đề và tìm kích thước bán kính
Sau khi đọc xong đề, nếu đề cho sẵn bán kính thì bạn nên ghi ra giấy. Nhưng nếu đề bài cho bạn đường kính thì bạn có thể áp dụng công thức V = 1/6 π.d³. Hoặc bạn cũng có thể lấy đường kính chia thành 2 phần để ra bán kính sau đó áp dụng công thức giống như bước 1 để tính.
Nếu đề bài trong trường hợp khó hơn, đề chỉ cho bạn biết diện tích mặt cầu, bạn chỉ có thể tìm bán kính bằng cách lấy diện tích mặt cầu chia cho 4π. Sau đó tính căn bậc hai của kết quả vừa tính được ra. Có nghĩa là như sau: r = √(S/4π) ( Bán kính căn bậc hai của thương số diện tích và 4π)
Bước 3: Tiến hành tính lũy thừa bậc 3 của bán kính
Tới đây, bạn có thể tính căn bậc 3 của bán kính bằng cách như sau: Đem bán kính nhân với 3 lần của chính nó hoặc nâng nó lên số mũ ba.
Ví dụ: (2cm)3 = 2 x 2 x 2 = 8 cm
(3cm)3 = 3 x 3 x 3 = 27cm
Bước 4: Tiếp tục nhân lũy thừa bậc 3 với bán kính 4/3
Tiếp theo, bạn thay giá trị của r³ rồi áp dụng công thức V = 4/3πr³ để phương trình được gọn hơn.
Bước 5: Nhân biểu thức vừa được tính với π
Cuối cùng bạn đặt pi vào phép tính rồi nhân với 4/3 , khi đó giá trị của pi sẽ tương đương với 3,1415. Hoặc nếu không bạn có thể để nguyên π và tính theo dạng V = 4/3πr³ là xong kết quả.
Một số bài tập tính thể tích khối cầu
Bài tập có lời giải
Bài 1: Cho hình tròn có đường kính 8a quay quanh đường kính của nó. Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh ra là bằng bao nhiêu?
Giải
Ta có khối cầu có đường kính bằng 8a => bán kính R = 4a
Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu V = 4/3πr³ ta có: V = 4/3 xπ x (4a)³ =256/3π
Bài 2: Cho hình tròn có chu vi 35,4 cm. Hãy tính thể tích hình cầu có bán kính bằng bán kính của hình tròn vừa cho.
Giải
Chu vi hình tròn có công thức C = 2πr = 35,4 cm
=> Bán kính r = C/2π = 5,6 cm
Thể tích khối cầu đã cho là: V = 4/3πr³ = 4/3 x π x (5,6)³= 716,86 cm³
Bài 3: Một mặt cầu có đường kính là d = 2 cm. Hãy tính thể tích của mặt cầu
Hướng dẫn giải
Đường kính của mặt cầu d = 2 cm => R = d: 2 = 2 : 2 = 1 cm = 0,01m
Áp dụng công thức tính thể tính mặt cầu: V = 4/3 x π x (0,01)³ = 41,48 x 10-8 (m³)
Bài 4: Cho hình chóp ABCD có đáy là tam giác vuông tại B và AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AB = a, BC = b, BD = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh B, C, D, A có bán kính r bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải chi tiết
Gọi M là trung điểm của CD, khi đó MB = MC = MD, M là tâm đường tròn ngoại tiếp
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCD
Dựng Mt vuông góc với (BCD) ta có Mt // AB và Mt là đường trung trực của đường tròn ngoại tiếp của tam giác BCD.
Trong mặt phẳng ( AB; Mt) đường trung trực của AB cắt Mt tại I ta có: IA = IB ta có IB = IC = ID .
=> IA = IB = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bán kính mặt cầu: R = IB = căn bậc hai của BM2 + MI2 với
BM = CD/2 = ½ căn bậc hai BC2+ BD2= ½ căn bậc hai b2 + c2
MI = AB/2 => R= ½ căn bậc hai của a2+ b2 +c2
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp khi biết góc ASB bằng 120° ?
Hướng dẫn giải
- Gọi H là trung điểm AB: SH vuông góc với AB ( vì tam giác SAB cân tại S) => SH vuông góc với mặt phẳng (ABC)
=> SH vuông góc AH; CH vuông góc với AB ( Vì tam giác ABC là tam giác đều) => CH vuông góc SAB
- Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác SAB
Qua I và J lần lượt kẻ đường thẳng d song song với SH và đường thẳng d’ song song với CH
=> d là trục của tam giác ABC và d’ là trục của tam giác SAB => Giao điểm của d và d’ là tâm O và OS là bán kính của khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
- Áp dụng định lý sin trong tam giác SAB = 2JS => JS = √3/3
Xét tam giác ABC đều: CH = √3/2; IH = ⅓ CH = √3/6
Xét tam giác OJS vuông tại I: OS = √15/6
Thể tích của khối cầu: V = 4/3π.OS³ = 5√15π/54
Bài 6: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9. Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi I là tâm mặt cầu và S ABCD . là hình chóp nội tiếp mặt cầu.
Gọi x là độ dài cạnh SO .
Gọi M là trung điểm của SD .
Ta có SI.SO = SM.SD = ½ SD2 => SD2 = 2 SI. SO = 18x
Suy ra OD2 = 18x – 18×2
Thể tích khối chóp SABCD bằng V = ⅓ SO. diện tích hình chóp ABCD = ⅓ x .2. OD2 = ⅔ x (18x – x2) = ⅔ x2(18 – x)
Vậy thể tích cần tìm của khối chóp là V = 576
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, đáy là tam giác đều, SA = 3a và góc giữa đường thẳng SB và đáy bằng 60°. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, H, K.
Đáp án chi tiết
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua điểm O
Ta có BD vuông góc với AB và BD vuông góc với SA => BD vuông góc với mặt phẳng (SAB) => BD vuông góc với AH
Từ giả thuyết => AH vuông góc với SB
Suy ra AH vuông góc với mặt phẳng (SBD) => AH vuông góc HD
Tương tự AK vuông góc KD
Do các điểm B, H, K nhìn AD dưới 1 góc vuông nên B,H, K nằm trên mặt cầu đường kính AD.
Ta có góc SBA = 60° => Tan góc SBD = SA/AB => AB = SA/tan60 = a
Tam giác SBA đều cạnh bằng a => Ta có AO = a√3/3
Vậy mặt cầu qua A, B, H, K có bán kính R = AD/2 = AO = a√3/3
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho khối chóp đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a√3. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 45. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.
Bài 3: Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc BAC = 60° và BC = a. Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng (ABC) và thỏa mãn SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 60°. Tính thể tích V của khối cầu tâm O theo a
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC thỏa mãn AC = 4. AH và SH = 2a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD (mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp)
Bài 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 4a nằm trong mặt phẳng P. Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho SI vuông góc với mặt phẳng P và SI = 2a. Tính bán kính R của mặt cầu qua đường tròn tâm O và điểm S.
Bài 6: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA = 2a vuông góc với đáy ABCD. Gọi M là trung điểm của SC , mặt phẳng đi qua điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại I, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, I, M, F nhận giá trị nào sau đây?
Bài 7: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABC. Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB bằng bao nhiêu?
Bài 8: Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông cân tại S. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp. Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh AB= 2a, góc giữa mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60°. Tính bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp SABC
Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a√7 và vuông góc với đáy. Lấy điểm M trên cạnh SC sao cho CM = a. Gọi ( C ) là hình nón có đỉnh C , các điểm B, M, D thuộc mặt xung quanh, điểm A thuộc mặt đáy của hình nón. Tính thể tích xung quanh của ( C ).
Bài 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 4, AD = 5 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Trên đây chúng tôi đã tổng hợp những kiến thức quan trọng về thể tích khối cầu để học sinh có thể ôn luyện và nắm vững kiến thức tốt nhất. Hy vọng nhưng thông tin mà Phongreviews chia sẽ hữu ích đối với học sinh. Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết của chúng tôi.
